Så här utforskar och bygger du en funktionsgrafik?

Idag föreslår vi tillsammans med oss att utforska ochkonstruera en funktionsdiagram. Efter noggrant att studera den här artikeln behöver du inte svettas länge för att uppnå denna typ av uppgift. Det är inte lätt att undersöka och konstruera en funktionsdiagram, arbetet är voluminöst, vilket kräver maximal uppmärksamhet och noggrannhet i beräkningarna. För att underlätta materialets uppfattning studerar vi gradvis samma funktion, förklarar alla våra handlingar och beräkningar. Välkommen till den underbara och fascinerande världen av matematik! Låt oss gå!

Domän av definitionen

För att undersöka och konstruera en graffunktion, du behöver veta några definitioner. Funktionen är en av de grundläggande (grundläggande) begreppen i matematik. Det återspeglar förhållandet mellan flera variabler (två, tre eller flera) med förändringar. Funktionen visar också beroende på uppsättningarna.

utforska och konstruera en funktionsdiagram

Föreställ dig att vi har två variabler,som har en viss variation av variationer. Så y är en funktion av x, förutsatt att till varje värde av den andra variabeln motsvarar det ett värde av det andra. Dessutom är variabeln y beroende, och den kallas en funktion. Det är vanligt att säga att variablerna x och y är i ett funktionellt förhållande. För större klarhet i detta beroende beräknas en graf av funktionen. Vad är en funktionsgrafik? Detta är uppsättningen punkter på koordinatplanet, var till varje värde av x motsvarar det ett värde y. Graferna kan vara olika - en rak linje, en hyperbola, en parabol, en sinusoid och så vidare.

Funktionsgrafen kan inte byggas utanforskning. Idag lär vi oss att genomföra en studie och konstruera en funktionsdiagram. Det är mycket viktigt att göra anteckningar på koordinatplanet under undersökningen. Så att klara uppgiften blir mycket enklare. Den mest praktiska studieplanen:

Omfattning av definitionen.
Kontinuitet.
Paritet eller oddity.
Periodicitet.
Asymptote.
Nollor.
Ett tecken på konstans.
Stigande och nedstigande.
Ytterligheter.
Konvexitet och konkavitet.

Låt oss börja med första stycket. Vi finner definitionens domän, det vill säga med vilka intervall finns vår funktion: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). I vårt fall finns funktionen för alla värden på x, det vill säga domänen med definitionen är R. Den kan skrivas enligt följande xVR.

kontinuitet

Nu ska vi utforska funktionen pågap. I matematik framträdde termen "kontinuitet" som en följd av att studera rörelsebestämmelserna. Vad är oändligt? Rymd, tid, vissa beroenden (ett exempel är beroende av variablerna S och t i rörelseproblem), temperaturen hos objektet som värms upp (vatten, stekpanna, termometer etc.), en kontinuerlig linje (det vill säga en som kan dras utan att riva den från blyertspenna).

Ett kontinuerligt schema anses vararevs på någon punkt. Ett av de mest illustrativa exemplen på sådan grafik är en sinusvåg som du kan se på bilden i det här avsnittet. Funktionen är kontinuerlig vid något tillfälle x0 om ett antal villkor är uppfyllda:

en funktion definieras vid denna punkt;
rätt och vänster gränser vid punkten är lika;
gränsen är lika med värdet av funktionen vid x0.

Om minst ett villkor inte observeras,att funktionen bryts. Och punkterna där funktionen bryts brukar kallas brytpunkter. Ett exempel på en funktion som kommer att "bryta" under grafisk visning är: y = (x + 4) / (x-3). Dessutom existerar y inte vid x = 3 (eftersom det är omöjligt att dela med noll).

I den funktion som vi undersöker (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) visade allt sig vara enkelt, eftersom grafen blir kontinuerlig.

Paritet, udda

Undersök nu paritetsfunktionen. Först en liten teori. Även kallas den funktion som uppfyller villkoret f (-x) = f (x) för valfritt värde av variabeln x (från värdena). Exempel är:

modul x (grafen ser ut som en daw, bisektorn i första och andra kvartalet i diagrammet);
x kvadrerad (parabola);
cosinusoid (cosinusoid).

Observera att alla dessa grafer är symmetriska, om vi betraktar det i förhållande till ordinatsaxeln (det vill säga y).

Vad heter då en udda funktion? Dessa är de funktioner som uppfyller villkoret: f (-x) = - f (x) för vilket värde som helst av variabeln x. exempel:

överdrift;
kubisk parabola;
sinusvåg;
tangensoid och så vidare.

Observera att dessa funktioner harsymmetri relativt punkten (0: 0), det vill säga ursprunget. Baserat på vad som har sagts i det här avsnittet i artikeln borde jämna och udda funktioner ha egenskapen: x tillhör definitionen och -x också.

Undersök paritetsfunktionen. Vi kan se att det inte passar någon av beskrivningarna. Därför är vår funktion varken jämn eller ojämn.

asymptot

Låt oss börja med definitionen. En asymptot är en kurva som är så nära grafen som möjligt, det vill säga avståndet från någon punkt tenderar att vara noll. Totalt finns tre typer av asymptoter:

vertikalt, dvs parallellt med y-axeln;
horisontellt, dvs parallellt med x-axeln;
lutande.

När det gäller den första typen, bör datalinjerna söks på vissa punkter:

break;
ändar av domänen.

I vårt fall är funktionen kontinuerlig, och definitionens domän är R. Därför finns inga vertikala asymptoter.

Den horisontella asymptoten har en funktionsdiagram,som uppfyller följande krav: om x går till oändlighet eller minus oändlighet, och gränsen är ett antal (till exempel a). I detta fall, y = a - detta är den horisontella asymptoten. Det finns inga horisontella asymptoter i den funktion vi studerar.

Oblique asymptote existerar endast om två villkor är uppfyllda:

lim (f (x)) / x = k;
lim f (x) -kx = b.

Då kan den hittas med formeln: y = kx + b. I vårt fall finns det inga sneda asymptoter.

Funktionsnerven

Nästa steg vi behöver utforskafunktionsgraf för nollor. Det är väldigt viktigt att notera att uppgiften i samband med att hitta nollor av en funktion hittas inte bara i studien och konstruktionen av funktionsgrafen utan också som en självständig uppgift och som ett sätt att lösa ojämlikheter. Du kan behöva hitta nollor av en funktion på ett diagram eller använda en matematisk notering.

Att hitta dessa värden hjälper dig mernoggrant plottar funktionen. Enkelt uttryckt är funktionens nolla värdet av variabeln x, för vilken y = 0. Om du letar efter funktionsnoser på ett diagram, bör du vara uppmärksam på punkterna där grafen skär med x-axeln.

För att hitta nollorna i funktionen är det nödvändigt att lösa följande ekvation: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Efter att ha gjort de nödvändiga beräkningarna får vi följande svar:

x = 1;
4;
9.

Det rekommenderas att omedelbart markera punkterna i diagrammet.

underteckna beständighet

Nästa steg i forskning och funktionskonstruktion(grafik) - detta konstaterande intervall av konsistens. Det betyder att vi måste bestämma vid vilka intervaller funktionen tar ett positivt värde och med vilka intervaller - en negativ. Funktioner som finns i det sista avsnittet hjälper oss. Så, vi måste bygga en rak linje (separat från grafen) och i rätt ordning fördela nollor av funktionen från mindre till större i rätt ordning. Nu är det nödvändigt att bestämma vilka av de resulterande luckorna som har ett "+" tecken, och vilka "-".

I vårt fall tar funktionen ett positivt värde på intervallet:

från 1 till 4;
från 9 till oändligheten.

Negativt värde:

från minus oändlighet till 1;
från 4 till 9.

Det här är lätt att bestämma. Ersätt något tal från intervallet till funktionen och se med vilket tecken svaret är (minus eller plus).

Ökning och minskning av funktionen

För att undersöka och bygga en funktion måste vi veta var grafen kommer att växa (gå upp längs koordinatlinjen Oy) och var den kommer att falla (krypa ner längs y-axeln).

Funktionen ökar endast omdet större värdet av variabeln x motsvarar det större värdet av y. Det vill säga, x2 är större än x1 och f (x2) är större än f (x1). Och vi ser ett helt motsatt fenomen i en minskande funktion (ju mer x, desto mindre y). För att bestämma intervallen av stigande och nedåtgående måste du hitta följande:

omfattning (vi har redan);
derivat (i vårt fall: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
lösa ekvationen 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Efter beräkningar får vi resultatet:

7/3;
7.

Vi får: funktionen ökar med intervallet från minus oändlighet till 7/3 och från 7 till oändligheten och minskar intervallet från 7/3 till 7.

Extremes

Den undersökta funktionen y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)är kontinuerlig och existerar för varje värde av variabeln x. Ytterpunkten visar max och minsta funktion för denna funktion. I vårt fall är de inte tillgängliga, vilket förenklar byggnadsuppgiften. I övrigt hittas extremumpunkterna med hjälp av derivatet av funktionen. Efter att ha hittat glöm inte att markera dem på diagrammet.

Konvexitet och konkavitet

Vi fortsätter att undersöka funktionen y (x). Nu måste vi kontrollera det för konvexitet och konkavitet. Definitionerna av dessa begrepp är svåra att förstå, det är bättre att analysera allt med exempel. För testet: En funktion är konvex om den är obestämd i en icke-avtagande funktion. Enig, det är inte klart!

Vi behöver hitta derivat av den andra funktionen.ordning. Vi får: y = 1/3 (6x-28). Nu jämställer vi högra sidan till noll och löser ekvationen. Svaret är x = 14/3. Vi hittade en inflektionspunkt, det vill säga en plats där grafen ändrar bulgen till konkavitet eller vice versa. I intervallet från minus oändlighet till 14/3 är funktionen konvex och från 14/3 till plus oändlighet är konkav. Det är väldigt viktigt att notera att böjpunkten på grafen ska vara jämn och mjuk, inga vassa hörn bör vara närvarande.

Definiera ytterligare poäng

Vår uppgift är att utforska och plotta.funktion. Vi har avslutat studien, nu är det inte svårt att plotta funktionen. För en mer exakt och detaljerad reproduktion av en kurva eller en linje på koordinatplanet kan du hitta flera hjälppunkter. Det är ganska enkelt att beräkna dem. Till exempel tar vi x = 3, löser den resulterande ekvationen och hittar y = 4. Eller x = 5, och y = -5, och så vidare. Ytterligare poäng kan du ta så mycket som du behöver bygga. Minst 3-5 finns.

plottning

Vi behövde utforska funktionen(x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Alla nödvändiga märken under beräkningarna markerades på koordinatplanet. Allt som återstår att göra är att bygga en graf, det vill säga att ansluta alla punkter tillsammans. Anslut prickarna är slät och snyggt, det här är en fråga om skicklighet - lite övning och ditt schema blir perfekt.

</ p>>